Tính tích phân $I = int {frac{{P(x)}}{{Q(x)}}} dx$ với $P(x)$ và $Q(x)$ là các đa thức dạng: $f(x) = {a_0}{x^n} + {a_1}{x^{n – 1}} + … + {a_n};n in {N^*}$.
Bạn đang xem: Phương pháp đồng nhất hệ số
Ví dụ:Tính $int {frac{{{x^2}}}{{{{(x + 2)}^2}}}} dx$
GiảiĐặt: t = x +2 => $x^{2}= (t+2)^{2}$ và $dx = dt$;
$int {frac{{{x^2}}}{{{{(x + 2)}^2}}}} dx$ $=int frac{(t-2)^{2}}{t^{2}}dt$
$=int frac{t^{2}-4t+4}{t^{2}}dt$
$=int dt-4int frac{1}{t}dt+4int frac{1}{t^{2}}dt$
$=t-4lnleft | t right |-frac{4}{t}+C$. suy ra: $f(x)= x+2-4lnleft | x+2 right |-frac{4}{x+2}+C$
2. Tính nguyên hàm bằng phương pháp cân bằng đại số (Đồng nhất thức)
Trường hợp 1: Nếu bậc của tử số $P(x)$ $≥$ bậc của mẫu số $Q(x)$, ta sử dụng phép chia đa thức: $I = int {frac{{P(x)}}{{Q(x)}}} dx = int {left} dx = int {H(x)dx} + int {frac{{R(x)}}{{Q(x)}}} dx = {I_1} + {I_2}$, trong đó $I_1$ là tích phân cơ bản, $I_2$ là tích phân hàm số phân thức hữu tỉ có bậc tử số nhỏ hơn bậc mẫu số.
Ví dụ 1: Tính các tích phân hàm số phân thức hữu tỉ sau:$a)I = int {frac{{{x^3}}}{{2x + 3}}} dx$$b)I = int {frac{{{x^2} – 5}}{{x + 1}}} dx.$$c)I= int {frac{{{x^3}}}{{{x^2} – 1}}} dx.$
Giải
a) Ta có: $frac{{{x^3}}}{{2x + 3}}$ $ = frac{1}{2} cdot frac{{left( {2{x^3} + 3{x^2}} right) – frac{3}{2}left( {2{x^2} + 3x} right) + frac{9}{4}(2x + 3) – frac{{27}}{4}}}{{2x + 3}}$ $ = frac{{{x^2}}}{2} – frac{3}{4}x + frac{9}{8} – frac{{27}}{{8(2x + 3)}}.$Suy ra: $I=int_{}^{} {frac{{{x^3}}}{{2x + 3}}} dx $$= int_{}^{} {left( {frac{{{x^2}}}{2} – frac{3}{4}x + frac{9}{8} – frac{{27}}{{8(2x + 3)}}} right)} dx $$= {frac{1}{6}{x^3} – frac{3}{8}{x^2} + frac{9}{8}x – frac{{27}}{{16}}ln |2x + 3|}+ C$
b) Ta có: $frac{{{x^2} – 5}}{{x + 1}}$ $ = frac{{{x^2} – 1 – 4}}{{x + 1}}$ $ = x – 1 – frac{4}{{x + 1}}.$Suy ra: $I=int_{}^{} {frac{{{x^2} – 5}}{{x + 1}}} dx $ $ = int_{}^{} {left( {x – 1 – frac{4}{{x + 1}}} right)} dx $ $ = left( {frac{1}{2}{x^2} – x – 4ln |x + 1|} right) + C$c) Ta có: $frac{{{x^3}}}{{{x^2} – 1}}$ $ = frac{{xleft( {{x^2} – 1} right) + x}}{{{x^2} – 1}}$ $ = x + frac{x}{{{x^2} – 1}}.$Suy ra: $I=int_{}^{} {frac{{{x^3}}}{{{x^2} – 1}}} dx$ $ = int_{}^{} {left( {x + frac{x}{{{x^2} – 1}}} right)} dx$ $ = int_{}^{} x dx + int_{}^{} {frac{{xdx}}{{{x^2} – 1}}} $ $ = frac{{{x^2}}}{2} + frac{1}{2}lnleft| {{x^2} – 1} right| + C$
Trường hợp 2: Nếu bậc của tử số $P(x)$ $
Dạng 1: $int {frac{{f”(x)dx}}{{f(x)}}} $
Phương pháp: $int {frac{{f”(x)dx}}{{f(x)}}} $ $ = int {frac{{d(f(x)}}{{f(x)}}} = ln left| {f(x)} right| + C$.
Ví dụ 1: Tính $I = int {frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x + 3}}} dx$
Giải
$I = int {frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x + 3}}} dx $ $= int {frac{{d({x^2} + x + 3)}}{{{x^2} + x + 3}}} $ $= ln left| {{x^2} + x + 3} right| + C$
Ví dụ 2: Tính $I = int {frac{{4{x^3} + 1}}{{{x^4} + x – 2}}} dx$
Giải
$I = int {frac{{4{x^3} + 1}}{{{x^4} + x – 2}}} dx = int {frac{{d({x^4} + x – 2)}}{{{x^4} + x – 2}}} = ln left| {{x^4} + x – 2} right| + C$
Dạng 2: $int {frac{A}{{(ax + {rm{}}b)(cx + d)}}dx;Delta = {b^2} – 4ac > 0} $
Phương pháp: Gọi x1;x2 là các nghiệm của mẫu. Phân tích: $frac{1}{{(x – {x_1})(x – {x_2})}} = – frac{1}{{{x_2} – {x_1}}}left( {frac{1}{{x – {x_1}}} – frac{1}{{x – {x_2}}}} right)$
Khi đó: $I = int_{}^{} {frac{A}{{aleft( {x – {x_1}} right)left( {x – {x_2}} right)}}} dx$ $ = frac{A}{{aleft( {{x_2} – {x_1}} right)}}int_{}^{} {left( {frac{1}{{x – {x_2}}} – frac{1}{{x – {x_1}}}} right)} dx$ $frac{A}{{aleft( {{x_2} – {x_1}} right)}}ln left| {frac{{x – {x_2}}}{{x – {x_1}}}} right| + C$
Ví dụ 1: Tính $I = int {frac{{dx}}{{(x – 1)(x – 2)}}}$
Giải
Ta có: $frac{1}{{(x – 1)(x – 2)}} $$= frac{A}{{x – 2}} – frac{B}{{x – 1}} $$= frac{{A(x – 1) – B(x – 2)}}{{(x – 2)(x – 1)}}$
Thay lần lượt x=1; x=2 vào tử số hai vế ta có:A=1;B=1
Suy ra: $I = int {frac{{dx}}{{(x – 1)(x – 2)}}} $$= int {left( {frac{1}{{x – 2}} – frac{1}{{x – 1}}} right)} dx $$= int {frac{{dx}}{{x – 2}}} – int {frac{{dx}}{{x – 1}}} $$= ln left| {x – 2} right| – ln left| {x – 1} right| + C $$= ln left| {frac{{x – 2}}{{x – 1}}} right| + C$
Ví dụ 2: Tính $I = int {frac{1}{{xleft( {{x^2} – 1} right)}}} dx.$
Giải
Ta có: $f(x) = frac{1}{{xleft( {{x^2} – 1} right)}}$ $ = frac{1}{{x(x – 1)(x + 1)}}$ $ = frac{A}{x} + frac{B}{{x – 1}} + frac{C}{{x + 1}}$ $ = frac{{Aleft( {{x^2} – 1} right) + Bx(x + 1) + Cx(x – 1)}}{{x(x – 1)(x + 1)}}.$Đồng nhất hệ số hai tử số bằng cách thay các nghiệm: $x = 0$, $x = 1$ và $x = -1$ vào hai tử số.
Xem thêm: Jual Lagu Mp4 Murah – Download Lagu Lagu Indonesia Terbaru Mp3
Ta có:$left{ {begin{array}{*{20}{l}}{x = 0 to 1 = -A}\{x = -1 to 1 = 2C}\{x = 1 to 1 = 2B}end{array}} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}{A = – 1}\{B = frac{1}{2}}\{C = frac{1}{2}}end{array}} right.$
$ Rightarrow f(x) = – frac{1}{x} + frac{1}{2}left( {frac{1}{{x – 1}}} right) + frac{1}{2}left( {frac{1}{{x + 1}}} right)$Vậy: $I = int_{}^{} {frac{1}{{xleft( {{x^2} – 1} right)}}} dx$ $ = int_{}^{} {left( {frac{1}{2}left( {frac{1}{{x{rm{ – }}1}} + frac{1}{{x + 1}}} right) – frac{1}{x}} right)} dx $ $ = frac{1}{2}ln left| {(x – 1)(x + 1)} right| – ln |x| + C$.
Dạng 3:$int {frac{A}{{(ax^2 + bx + c)}}dx;Delta = {b^2} – 4ac = 0} $
Phương pháp: Vì $Delta = 0$, ta có: $I = int {frac{{Adx}}{{a{{left( {x – {x_0}} right)}^2}}}} $ $ = – frac{A}{{aleft( {x – {x_0}} right)}} + C$
Ví dụ: Tính $I = int {frac{{dx}}{{{x^2} – 2x + 1}}} $
Giải
$I = int {frac{{dx}}{{{x^2} – 2x + 1}}} $$= int {frac{{dx}}{{{{(x – 1)}^2}}}} $$= int {{{(x – 1)}^{ – 2}}} d(x – 1) $$= – {(x – 1)^{ – 1}} + C = – frac{1}{{x – 1}} + C$.
Dạng 4: $I = int {frac{{Ax + B}}{{a{x^2} + bx + c}}} dx$, và $Delta = {b^2} – 4ac>0$
Phương pháp: Vì $Delta > 0$, Phân tích: $frac{{Ax + B}}{{aleft( {x – {x_1}} right)left( {x – {x_2}} right)}} = frac{1}{a}left( {frac{C}{{x – {x_2}}} + frac{D}{{x – {x_1}}}} right)$.
Khi đó: $I = int {frac{{Ax + B}}{{aleft( {x – {x_1}} right)left( {x – {x_2}} right)}}} dx $$= frac{1}{a}int {left( {frac{C}{{x – {x_2}}} + frac{D}{{x – {x_1}}}} right)} dx $$= frac{1}{a}(Cln left| {x – {x_2}} right| + Dln left| {x – {x_1}} right|) + E$
Ví dụ: Tính $I = int {frac{{4x + 11}}{{{x^2} + 5x + 6}}} dx.$
GiảiTa có: $f(x) = frac{{4x + 11}}{{{x^2} + 5x + 6}}$ $ = frac{{4x + 11}}{{(x + 2)(x + 3)}}$ $ = frac{A}{{x + 2}} + frac{B}{{x + 3}}$ $ = frac{{A(x + 3) + B(x + 2)}}{{(x + 2)(x + 3)}}.$
Thay $x = – 2$ vào hai tử số ta được: $3 = A$
Thay $x = -3$ vào hai tử số: $-1 = -B$ suy ra $B = 1.$Do đó: $f(x) = frac{3}{{x + 2}} + frac{1}{{x + 3}}.$
Vậy: $int {frac{{4x + 11}}{{{x^2} + 5x + 6}}} dx$ $ = int {left( {frac{3}{{x + 2}} + frac{1}{{x + 3}}} right)} dx$ $ = 3ln |x + 2| + ln |x + 3| +C$.
Dạng 5: $int {frac{{mx + n}}{{{{(ax + b)}^2}}}dx} $
Phương pháp: $frac{{mx + n}}{{{{(ax + b)}^2}}} = frac{A}{{{{(ax + b)}^2}}} + frac{B}{{ax + b}} $
Ví dụ: Tính $I = int {frac{{2x + 2}}{{{{(2x + 1)}^2}}}dx}$
Giải
Phân tích: $frac{{2x + 2}}{{{{(2x + 1)}^2}}} = frac{A}{{{{(2x + 1)}^2}}} + frac{B}{{2x + 1}} = frac{{A + B(2x + 1)}}{{{{(2x + 1)}^2}}} = frac{{2Bx + A + B}}{{{{(2x + 1)}^2}}}$. Cân bằng 2 vế tac được A=1;B=1.
Khi đó: $I = int {frac{{2x + 2}}{{{{(2x + 1)}^2}}}dx} = int {left( {frac{1}{{{{(2x + 1)}^2}}} + frac{1}{{2x + 1}}} right)} dx = – frac{1}{2}.frac{1}{{2x + 1}} + frac{1}{2}ln left| {2x + 1} right| + C$
Dạng 6: $int {frac{{mx + n}}{{{{(ax + b)}^2}(cx + d)}}dx} $
Phương pháp: $frac{{mx + n}}{{{{(ax + b)}^2}(cx + d)}} = frac{A}{{{{(ax + b)}^2}}} + frac{B}{{ax + b}} + frac{C}{{cx + d}}$
Ví dụ:Tính $I = int {frac{{{x^2}}}{{{{(x – 1)}^2}(x + 2)}}} dx.$
Giải
Ta có: $frac{1}{{(x – 1){{(x + 1)}^2}}}$ $ = frac{A}{{x – 1}} + frac{B}{{(x + 1)}} + frac{C}{{{{(x + 1)}^2}}}$ $ = frac{{A{{(x + 1)}^2} + B(x – 1)(x + 1) + C(x – 1)}}{{(x – 1){{(x + 1)}^2}}}$ $(1).$Thay hai nghiệm mẫu số vào hai tử số:$left{ {begin{array}{*{20}{l}}{1 = 4A}\{1 = – 2C}end{array}} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}{A = frac{1}{4}}\{C = – frac{1}{2}}end{array}} right.$$(1) Leftrightarrow frac{{(A + B){x^2} + (2A + C)x + A – B – C}}{{(x – 1){{(x + 1)}^2}}}$ $ Rightarrow A – B – C = 1$ $ Leftrightarrow B = A – C – 1$ $ = frac{1}{4} + frac{1}{2} – 1 = – frac{1}{4}.$Do đó: $int {frac{1}{{(x – 1){{(x + 1)}^2}}}} dx$ $ = int {left( {frac{1}{4}frac{1}{{x – 1}} + frac{1}{4}frac{1}{{(x + 1)}} – frac{1}{2}frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}} right)} dx$ $ = left + C$
Chuyên mục:
Chuyên mục: Nhà Cái Uy Tín
Source: Minh Gà Chọi
